Examen Simulador de Geometría y Trigonometría IPN NIVEL SUPERIOR 2024

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Por definición la forma exponencial y logarítmica se expresan como

Completar la forma exponencial y logarítmica relacionadas que se muestran enseguida:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Logaritmo base 𝑎 de 𝑥 es igual al exponente al cual se eleva la base 𝑎 para obtener 𝑥:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

1D. La potencia es multiplicar a la base por sí misma tantas veces como indica el exponente.

2A. Logaritmo es el exponente al que se eleva la base para obtener la potencia.

3B. Recíproco es intercambiar numerador por denominador.

4C. Radicación es calcular el número que multiplicado por sí mismo, tantas veces como indica el índice de la raíz, dé por resultado el radicando.

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Aplicar definición de logaritmo:

Aplicar jerarquía de operaciones y ley de la resta:

Aplicar ley de los signos:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Por definición de logaritmo base 10 podemos expresar:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Calcular factores primos:

Aplicar propiedades de los exponentes:

Aplicar leyes de los exponentes y propiedad distributiva:

Aplicar leyes de los exponentes y ley de la suma y ley de la resta, con términos semejantes:

Aplicar ley de la tricotomía:

11x-26=2-2x

Aplicar operaciones inversas y ley de la suma con términos semejantes:

13x=28

Aplicar operación inversa:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Por definición, la forma logarítmica base 10 tenemos 𝑙𝑜𝑔 1 = 0 de forma análoga 𝑙𝑜𝑔 10 = 1

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Aplicar leyes de los exponentes y calcular factores primos:

Aplicar operaciones inversas y leyes de los exponentes:

Aplicar propiedades de los exponentes:

Aplicar definición de logaritmo:

Aplicar cambio de base, propiedades de logaritmo y propiedad reflexiva:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Se realiza el cociente entre las funciones:

Entonces:

Aplicando el logaritmo base e, tenemos:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Al trazar la línea punteada al vértice B, podemos identificar un triángulo equilátero con ángulos
interiores de 60°.

Análogo al anterior, se forma un triángulo isósceles con un ángulo de 30° y los otros dos ángulos tienen que ser iguales por lo tanto son de . Por último, el ángulo de 180 debe ser la suma
siguiente:

𝑥 + 60 +75 = 180

Entonces 𝑥 = 45°

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Aplicar leyes de los exponentes:

Aplicar propiedades de los logaritmos y definición de logaritmo:

Aplicar propiedad de la igualdad, usando el mcm:

Aplicar propiedad distributiva, ley de los signos y jerarquía de operaciones:

Aplicar ley de la suma y ley de la resta con términos semejantes:

Aplicar operaciones inversas y leyes de los signos:

Aplicar definición de logaritmo:

Aplicar propiedad de los exponentes y racionalizar el denominador:

Aplicar leyes de los exponentes:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Las unidades para medir ángulos son los grados sexagesimales, radianes, gradianes y revoluciones. Sin embargo, aquí convertimos de grados a radianes para lo cual recordamos que 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 180°, entonces:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Por ángulos complementarios:

Resolviendo la ecuación 2:

Sustituyendo en la ecuación (1):

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

La relación de semejanza es Lado Ángulo Lado (LAL), entonces se cumple la razón:

Sustituyendo las longitudes:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

La relación para encontrar el número de diagonales de un polígono regular es:

Donde 𝑁𝐷 = 9 es el número de diagonales y 𝑛 el número de lados.

Resolviendo para encontrar 𝑛 tenemos:

Para lo cual 𝑛 = 6 es un polígono regular de 6 lados (hexágono)

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

1D. Altura es el segmento que tiene como extremo un vértice del triángulo y es perpendicular al lado opuesto de ese vértice o a su prolongación.

2C. Mediana es el segmento que une a un vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto.

3A. Bisectriz es el rayo que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes.

4B. Mediatriz es la recta que pasa perpendicularmente por el punto medio de un segmento.

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

La circunferencia tiene un hexágono inscrito, por lo que el ángulo interior se calcula con la relación:

Este ángulo es igual a 𝛼 por ser opuestos por el vértice.

El triángulo que se forma es equilátero y tiene dos ángulos iguales, por lo tanto:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Las diagonales del cuadrado miden , así que los segmentos miden

Ahora, el triángulo  tiene la siguiente área:

Entonces

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

De acuerdo con la regla de los ángulos internos de un triángulo:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

De acuerdo con las propiedades de los cuadriláteros, la suma de los ángulos internos es 360° como se muestra a continuación:

En el triángulo interno

Entonces

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

1D. Incentro.- Punto donde se cortan las tres bisectrices, siempre queda dentro del triángulo. Es el centro de una circunferencia que toca a cada lado en un solo punto (circunferencia inscrita en el triángulo).

2A. Baricentro o centroide.- Es el punto donde se intersectan las tres medianas, siempre está dentro del triángulo. Se considera el centro de gravedad de un cuerpo en forma de triángulo.

3C. Ortocentro.- Es el punto donde se intersectan las tres alturas.

4B. Circuncentro.- Punto donde se cortan las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo (circunferencia circunscrita al triángulo).

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Los triángulos que se forman son semejantes bajo el criterio (LAL).

Por lo que se cumple:

Se tiene

Cumpliéndose la proporciona para:

Entonces:

Donde se obtiene por Pitágoras

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

En la figura se puede distinguir los ángulos en el círculo:

1C. El ángulo seminscrito es aquel con vértice en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a la circunferencia 𝛾.

2D. El ángulo exterior tiene vértice en el exterior de la circunferencia y sus lados son secantes a la circunferencia 𝛿.

3A. El ángulo inscrito es aquel con vértice en la circunferencia y sus lados son cuerdas 𝛼.

4B. El ángulo central tiene vértice en el centro de la circunferencia sus lados son radios 𝛽.

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Considerando el triángulo rectángulo formado por un radio 𝑟 = 2.5 y la apotema 𝑎 = 2

La base del triángulo rectángulo

Entonces uno de los lados 𝐿 = 3

Considerando los 5 lados tendremos el perímetro 𝑃 = 5𝐿 = 15

El área será A

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

De la geometría

Se puede observar que la longitud

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Aplicando las identidades trigonométricas se tiene lo siguiente:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Utilizando el triángulo rectángulo se puede ver que

Luego, calculando la hipotenusa, ya que 𝑡𝑎𝑛 𝛽 = entonces

se tiene

por lo tanto

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Sustituir la identidad de cociente:

Sumar números racionales:

Dividir números racionales:

Factorizar y aplicar fracciones parciales:

Sustituir identidad de cociente e identidad reciproca:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Utilizamos una identidad de la suma:

donde 𝑡𝑎𝑛 60 =

En seguida racionalizando tenemos:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Factorizando 𝑠𝑒𝑛 𝛼 de todos los términos del numerador y sacando del paréntesis:

Desarrollando los binomios al cuadrado:

Utilizando la identidad:

Tenemos:

Por último, se utilizó:

Para llegar al resultado

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

El triángulo no es rectángulo por lo que utilizamos la ley de cosenos para calcular el lado A en esta forma:

Sustituyendo los lados 𝐵 = 5 y 𝐶 = 3, así como el ángulo 𝛼 = 120

Ahora, para calcular el ángulo utilizamos la ley de senos:

Sustituyendo los valores de 𝐴 = 7, 𝐶 = 3, 𝛼 = 120

Entonces 𝛽 = 38.2°

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

[1] Lo correcto es

[3] Los ángulos internos de un triángulo no pueden sumar más de 180°

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

La ley de senos nunca se usa en ángulos obtusos porque la gráfica del seno presenta simetría entre los ángulos de 0 a 90 y de 90 a 180.

La ley de cosenos sí se puede usar con ángulos obtusos porque la gráfica del coseno no presenta simetría.

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Aplicar propiedad de la igualdad:

Simplificar la fracción, multiplicar números racionales y dividir:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Se puede observar que la función trigonométrica 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 tiene periodo 𝜋 al igual que su función inversa.

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Aplicar ley de senos en el triángulo de la izquierda:

Sustituir , realizar operación inversa y dividir:

Aplicar ley de senos para el triángulo mayor:

Sustituir sen 90=1 y aplicar operación inversa:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

El dodecágono está formado por 12 triángulos isósceles:

Calcular la medida del ángulo vértice:

Dividir:

Calcular la medida de los ángulos congruentes:

Aplicar ley de la resta y dividir:

Aplicar ley de senos:

Sustituir , realizar operación inversa y dividir:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

El pentágono (polígono regular) no cuenta con centro de simetría ya que el punto A no tiene un simétrico diametralmente opuesto al igual que B, C, D, E

Mientras que los ejes de simetría son 5:

La respuesta es 0 centros de simetría y 5 ejes de simetría

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Aplicar función trigonométrica:

Aplicar operación inversa, simplificar la fracción y propiedad reflexiva:

Sustituir en la fórmula de velocidad=distancia/tiempo:

Factorizar por MCD, dividir números racionales y simplificar la fracción:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Aplicar ley de cosenos:

Aplicar jerarquía de operaciones, ley de la suma, operación inversa, función inversa y propiedad
reflexiva:

Aplicar ley de los signos y simplificar la fracción:

Aplicar ley de senos:

Sustituir sen 90=1 y aplicar operación inversa:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Al graficar la función, se pueden ver los puntos donde cruza eje x (ceros de la función).

En la función 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠 (𝑥) se consiguen los ceros si el argumento toma los valores

para 𝑛 = ⋯ ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, …

Sin embargo, para la función

el argumento es

para 𝑛 = ⋯ ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, …

Reproduce los ceros de la función

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Aplicar teorema de Pitágoras:

Igualar, aplicar definición de potencia y binomio al cuadrado:

Aplicar operación inversa, ley de la suma y ley de la resta:

16 20 a =

Aplicar operación inversa y simplificar la fracción:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Aplicar función trigonométrica:

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

La función se ha desplazado en 𝜋/2 hacia la derecha respecto a la original , por lo
que la función que se ha adelantado es

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

Como se puede ver en la geometría

Se tienen las razones siguientes:

Realizando el cociente:

Acomodando la ecuación tenemos:

Resolviendo la ecuación

Entonces

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

es la distancia de la lámpara a la persona.

Aplicar Teorema de Tales:

Aplicar operación inversa y dividir:

Entonces la distancia

EXPLICACIÓN DE LA RESPUESTA CORRECTA

1. La gráfica de la cosecante (función reciproca del seno) está en el inciso B.

2. La gráfica de la secante (función inversa del coseno) en el inciso D.

3. La gráfica de la cotangente (función inversa de la tangente) en el inciso A.

4. La gráfica de la tangente se encuentra en el inciso C.